Школьная Олимпиада



Главная    |    1 класс    |    2 класс    |    3 класс    |    4 класс    |    5 класс    |    6 класс
               |    7 класс    |    8 класс    |    9 класс    |    10 класс    |    11 класс



Школьная олимпиада по математике в 10 классе



Школьная олимпиада для 10 класса по математике

Школьная олимпиада по математике 10 класс.

Вариант 1

1. Е и Fсередины сторон ВС и AD выпуклого четырехугольника АВСD.
Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

2. Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причем в его середине?

3. На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в нее четырехугольник, и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром.
Затем стерли четырехугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив ее центр).
Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырехугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

4. В треугольнике АВС: М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от сторон АВ и АС
.

 

5. Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность.
Докажите, что четырехугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые
AC, BC, AD и BD, является вписанным.

6. В тетраэдре DABC: Ð ACB = Ð ADB, (СD)^ (АВС). В треугольнике АВС дана высота h, проведенная к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите длину CD.




Школьная олимпиада по математике 10 класс.

Вариант 2

1. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника.
Верно ли, что оставшиеся части также подобны?

2. Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей.
Общие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны.
Найдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

3. Дан четырехугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно.
Известно, что AA' = CC' и BB' = DD'. Верно ли, что ABCD параллелограмм?

4. В треугольнике АВС угол А равен 120o.
Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно АВ + АС.

6. Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причем их периметры одинаковы. Существует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

6. Дан треугольник ABC и точки p и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями p и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая pQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.




Олимпиада в 10 классе по математике: задания, решение, ответы