Математика 10 класс



Главная страница


Математика 10 класс. Задачи, решения, ответы.





Контрольная по математике 10 класс.

Задача 1

Рассмотрим четырёхзначное число, а также четырёхзначное число, записанное этими же цифрами, но в обратом порядке. Какое наибольшее количество цифр 5 может иметь в своей десятичной записи модуль разности этих чисел?


Задача 2

Решите уравнение


Задача 3

Внутри квадрата ABCD выбрана точка О. Квадрат A`B`C`D` - образ квадрата ABCD при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k>1 (Точки A`, B`, C`, D` являются образами точек A, B, C, D соответственно). Докажите, что сумма площадей четырёхугольников A`ABB` и C`CDD` равна сумме площадей четырёхугольников B`BCC` и D`DAA`.


Задача 4

Действительные числа x,y,z удовлетворяют условию:

Докажите,, что одно из них является средним арифметическим двух других.


Задача 5

Учительница рассадила за круглым столом своих учеников, среди которых мальчиков было втрое меньше, чем девочек. Оказалось, что среди всех пар учеников, сидящих рядом, пар детей одного пола вдвое больше, чем пар детей разного пола. При каком минимальном количестве детей за столом такое могло случиться?


Задача 6

Решить систему уравнений:


Задача 7

Найти наименьшее натуральное число, у которого произведение цифр равно 5120.


Задача 8

Доказать, что для любых действительных чисел выполняется неравенство:

.


Задача 9

Шахматная доска размером 2009x2009 покрашена в шахматном порядке (все угловые клетки черные). По шахматной доске ходит фишка, которая может ходить с клетки на соседнюю по стороне клетку. Если фишка попадает на некоторую клетку, то эта клетка меняет свой цвет на противоположный. Вначале фишка стоит в левом нижнем углу. Можно ли с помощью этой фишки перекрасить все клетки доски в черный цвет, если ходить сразу в обратном направлении запрещено? То есть, ходить так, как на рис.1, запрещено, а так, как на рис.2, можно.




Математика 10 класс

Пример решения олимпиадной задачи по математике 10 класс.

Условие задачи

Найдите четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел наибольшим количеством способов.


Решение задачи

Рассмотрим сумму k натуральных чисел, начиная с числа n.

формула

Рассмотрим два случая: для чётного и нечётного k.

a) k=2p

S=p(2n+2p-1)

б) k=2p+1

S=(2p+1)(n+p)

Итак, число S, являющееся суммой нескольких последовательных натуральных чисел, должно делиться на некоторое нечётное число.

Попробуем по имеющемуся нечётному множителю числа S определить, как оно представляется в виде такой суммы.

Пусть S=(2m+1)r

Тогда в случае а) получим систему

2m+1=2n+2p-1

r=p

Откуда:

n=m–r+1

p=r

Чтобы решение имело смысл, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

m>r+1

В случае б) имеем систему:

2m+1=2p+1

r=n+p

Получим:

p=m

n=r–m

Условие для m r в этом случае:

r>m

Поскольку для любых чисел m, r всегда истинно ровно одно из ограничений, то для каждого нечётного множителя числа S получим ровно одно представление его в виде суммы последовательных натуральных чисел.

Заметим, что при этом учитывается сумма и из одного слагаемого – само число S, соответствующая разложению S=1*S. Сумм же из нескольких слагаемых на одну меньше, чем нечётных делителей числа S.

Для четырёхзначного числа наибольшее количество нечётных делителей – 24, столько их будет, к примеру, в числе 3465=3*3*5*7*11.

Поэтому его можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел 23-мя способами (и ещё один способ, как уже было сказано – это «сумма» из одного слагаемого 3465)

Интересно, что, скажем, во французской математической традиции, к натуральным числам относится и число 0. Если допускать суммы с нулём, можно будет увеличить максимальное число способов на один. Для этого следует найти четырёхзначное треугольное число, имеющее 24 нечётных делителя. Одним из таких чисел будет 3*3*5*7*13=4095.


Олимпиадные задания по математике       10 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант