Олимпиада Математика



Олимпиады по математике для 8 класса с решением

Олимпиады по математике 8 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Главная страница


Олимпиады по математике с решением. 8 класс. Вариант 1.





Задача № 1 :

Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.

Решение. Если сумма нескольких чисел делится на шесть, то и сумма их остатков при делении на шесть тоже будет делится на 6. Простое число, большее пяти, может иметь при делении на 6 только остатки 1 или 5 (иначе это число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, квадрат любого простого числа, большего чем 5, имеет при делении на 6 остаток 1. Так как сумма этих остатков равна количеству чисел n, значит n делится на 6.



Задача № 2 :

Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Ответ. Третьим выстрелом Петя выбил 10, а Вася - 2 очка.

Решение. Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30). Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2+3+4 = 9. Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет). Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка. При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка. Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася. Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков.



Задача № 3 :

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.
Ответ обосновать.

Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года.

Решение.
Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году.

пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца.

Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится дата-палиндром 29.11.1192.



Задача № 4 :

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AD+BC = AB+CD.

Решение.
Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами, параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок. Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG . Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL. Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то \triangle AHD = \triangle CGM , следовательно, AD = CM. В силу неравенства треугольника BM £ BC+CM = BC+AD . Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC +CL = DC+AB. Следовательно, AD+BC ³ DL = DC +CL = DC+AB, что и требовалось доказать.



Задачи олимпиад




Олимпиадные задачи по математике 8 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :                    1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

     Г Д З    8 класс    |       Математика 8 класс    |       Задачи по математике 8 класс с решением