Логические задачи по математике с решением и ответами

Логическая задача по математике 1.

Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее.
Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения:
Афродита: "Я самая прекрасная".
Афина: "Афродита не самая прекрасная".
Гера: "Я самая прекрасная".
Афродита: "Гера не самая прекрасная".
Афина: "Я самая прекрасная".
Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны.
Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

Решение.

Если Афина самая прекрасная, то Афродита не самая прекрасная и должна говорить неправду.
Тогда утверждение "Гера не самая прекрасная." должно быть неправдой. Но оно верно. Противоречие.
Если Гера самая прекрасная, то Афина не самая прекрасная и должна говорить неправду.
Тогда утверждение "Афродита не самая прекрасная." должно быть неправдой. Но оно верно. Противоречие.
Значит, самой прекрасной может быть только Афродита. Легко убедиться, что это вариант подходит.

Ответ: Афродита.

Логическая задача по математике 2.

Каждый житель острова Сонный просыпается всегда одним и тем же способом.
Способов всего три:
(А) открыть одновременно оба глаза и бежать на зарядку;
(Б) открыть сначала левый глаз, а через 16 минут - правый, и бежать на завтрак;
(В) открыть сначала правый глаз, а через 27 минут - левый.
В социологическом опросе службы "Доброе утро" приняли участие жители городов Кривдина и Правдина, всего 1024 островитянина.
Каждому было задано по 3 вопроса:
(1) "Просыпаетесь ли Вы способом А?",
(2) "Просыпаетесь ли Вы способом Б?",
(3) "Просыпаетесь ли Вы способом В?"
Ответов "Да" на первый вопрос было 289, на второй вопрос - 361, на третий вопрос - 441.
Сколько жителей каждого из городов приняло участие в опросе?

Решение.

Для каждого человека подходит только один вариант ответа, а два не подходят.
Поэтому житель города Правдина должен один раз ответить "Да" и два раза "Нет", а житель города Кривдина, наоборот, один раз "Нет" и два раза "Да".
Таким образом, если бы все участники опроса были из Правдина, то ответов "Да" было бы столько же, сколько и участников, то есть, 1024.
Каждый житель Кривдина даёт два ответа "Да", добавляя один лишний ответ.
Всего ответов "Да" было 289 + 361 + 441 = 1091.
Значит, жителей Кривдина было 1091 - 1024 = 67. А жителей Правдина 1024 - 67 = 957.

Ответ: 957 жителей Правдина и 91 житель Кривдина.

Логическая задача по математике 3.

В три банки с надписями "малиновое", "клубничное" и "малиновое или клубничное" налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье.
Все надписи оказались неправильными.
Какое варенье налили в банку "клубничное"?

Решение.

Так как все надписи неправильные, то в третьей банке не может быть ни малиновое, ни клубничное варенье.
Значит, там смородиновое варенье.
Тогда клубничное и малиновое должны быть в первых двух банках.
А так как надписи неправильные, то в банке "клубничное" на самом деле малиновое варенье.

Ответ: Малиновое.

Логическая задача по математике 4.

Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал:
"У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек."
Прав ли он?

Решение.

Нет, он неправ.
Первым утверждением он говорит, что если человек великий, то у него плохой почерк.
Но из этого совершенно не следует, что обратное утверждение тоже верно: то есть, что человек с плохим почерком великий.
Таким образом, его вывод неверен.

Логическая задача по математике 5.

У императора украли перец. Известно, те, кто крадут перец, всегда лгут.
Пресс-секретарь заявил, что знает, кто украл перец.
Виновен ли он?

Решение.

Предположим, что он виновен. Значит, он должен всегда лгать.
Кроме того, так как это он украл перец, то он должен знать, кто его украл: это он сам.
Но тогда получается, что он сказал правду. Противоречие.
Значит, наше предположение неверно, и виновным он быть не может.

Ответ: Нет.

Логическая задача по математике 6.

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или фамилия, или отчество. Может ли такое быть?

Решение.

Может. Например:
Иванов Александр Сергеевич
Иванов Павел Васильевич
Гусев Александр Васильевич
Гусев Павел Сергеевич

Логическая задача по математике 7.

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса.
Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов.
Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать.
Действительно ли бармен ошибся?

Решение.

Выразим цены всех товаров в центах.
Так как 40 - чётное число, то несколько бутылок Кока-Колы, купленные Джо, стоят чётное число центов.
Аналогично сэндвичи стоят чётное число центов.
Так как бифштекса два, то оба они вместе также стоят чётное число центов.
Получается, что каждый товар стоит чётное число центов, поэтому стоимость всего заказа должна тоже выражаться чётным количеством центов.
Но 20 долларов 5 центов - это 2005 центов: нечётное число. Значит, бармен ошибся.

Логическая задача по математике 8.

Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома.
Златовласка подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик.
Но как это узнать? Каждый из них указывает на одного из двух других.
Правду сказала только Стрекоза.
Если бы каждый указывал не на того, на кого указывает, а на второго, то Ушастик был бы единственным, кто сказал правду.
Кто же подарил подарок?

Решение.

Это не могла быть Стрекоза, так как если бы это она подарила подарок, то она указала бы на себя, так как она сказала правду.
Из таких же соображений следует, что это не мог быть Ушастик. Значит, это был Огонёк.

Ответ: Огонёк.

Логическая задача по математике 9.

Кто-то из трёх друзей таким же образом подарил подарок Синеглазке.
На вопросы Синеглазки Огонёк отвечал, что это Ушастик, а что сказали Ушастик и Стрекоза, Синеглазка забыла.
Златовласка взяла дело в свои руки и выяснила, что только один из троих сказал правду, и именно он и сделал подарок.
Кто подарил подарок?

Решение.

Так как тот, кто подарил подарок, сказал правду, то он должен был указать на себя.
Поэтому подарок подарил не Огонёк, так как он указал на Ушастика.
Кроме того, отсюда следует, что он сказал неправду.
Значит, подарок подарил не Ушастик. Получается, что это была Стрекоза.

Ответ: Стрекоза.