Областная олимпиада по математике 9 класс

Задания областной математической олимпиады:

Задача 1.

На прямой отмечены четыре различные точки.
Для каждой из них вычисляется сумма расстояний от этой точки до трех других.
Может ли в результате образоваться следующая четверка чисел?
а) 29, 29, 35, 37;
б) 28, 29, 35, 37;
в) 28, 34, 34, 37.

Задача 2.

Пусть ABCD — прямоугольник.
Окружность с центром в точке D радиуса DA пересекает продолжение стороны AD в точке P.
Прямая PC пересекает во второй раз окружность в точке Q, а прямую AB — в точке R.
Докажите, что BQ = BR.

Задача 3.

Решите уравнение

2^{m + 2n + 1} + 4^m + 16ⁿ = 4^k

в натуральных числах m, n, k.

Задача 4.

Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так,
чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета
(отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?

Задача 5.

Дан остроугольный треугольник ABC с центром описанной окружности в точке O.
Обозначим через K основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую CO.
Пусть перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую BC пересекает прямую AB в точке N.
Докажите, что прямые CN и AB перпендикулярны.

Задача 6.

Дан квадрат n x n, раскрашенный в шахматном порядке так, что левая верхняя угловая клетка черная.
Над квадратом разрешается совершать следующую операцию:
выбрать прямоугольник размером 3 x 2 или 2 x 3,
в котором ровно три белые клетки, и перекрасить их в черный цвет.
При каких натуральных значениях n при помощи таких операций можно перекрасить все клетки в черный цвет?

Задача 7.

В треугольнике ABC ( AB < BC ) точка I — центр вписанной окружности,
M — середина стороны AC, N — середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что углы IMA и INB равны.

Задача 8.

В школе учатся 2009 мальчиков и 2009 девочек.
Каждый школьник посещает не более 100 кружков.
Известно, что любой мальчик посещает с каждой девочкой по крайней мере один общий кружок.
Докажите, что существует кружок, который посещают по крайней мере 11 мальчиков и 11 девочек.