Задачи областной математической олимпиады 11 класс

Задачи областной математической олимпиады:

Задача 1.

Пусть ABC — треугольник с целочисленными длинами сторон.
Биссектриса, проведенная из вершины B, и высота, опущенная из вершины C,
пересекаются внутри треугольника в точке P.
Докажите, что отношение площадей треугольников APB и APC — рациональное число.

Задача 2.

Подмножество A множества чисел { 1, 2, … , 2010 } обладает следующим свойством:
разность любых двух чисел из A не является простым числом.
Самое большее, сколько элементов может иметь подмножество A?

Задача 3.

Докажите, что для любого натурального числа k существует натуральное число n,
имеющее ровно k различных простых делителей, и такое, что 2ⁿ² + 1 делится нацело на n³.

Задача 4.

Пусть правильный 2004 - угольник вписан в окружность единичного радиуса.
Рассмотрим множество Q четырехугольников, все вершины которых совпадают с некоторыми вершинами этого многоугольника, а длины сторон и диагоналей не равны 2.
Пусть R – подмножество Q, состоящее из четырехугольников, содержащих центр окружности внутри себя.
Докажите, что число элементов R составляет ровно половину числа элементов Q.

Задача 5.

У кассирши в одной пачке 200 денежных купюр.
Она должна все купюры в пачке перевернуть лицевой стороной вверх,
причем порядок купюр в пачке не имеет значения.
На каждом шагу она выбирает некоторое количество купюр, лежащих в пачке подряд,
и переворачивает всю выбранную часть пачки.
Найдите наименьшее возможное число шагов, которого достаточно при любом изначальном положении купюр,
чтобы перевернуть все имеющиеся в пачке купюры лицевой стороной вверх.

Задача 6.

Для каких простых чисел p уравнение x² + y² = 2003 + pz имеет решение в целых числах x, y и z?

Задача 7.

В олимпиаде участвуют 45 школьников.
Выяснилось, что любые двое из них, имеющие одинаковое количество знакомых среди участников олимпиады,
не знакомы друг с другом.
Каково наибольшее возможное число знакомых пар школьников среди участников олимпиады?

Задача 8.

Можно ли нарисовать на плоскости 2005 ненулевых векторов так,
что из любых десяти из них можно выбрать три с нулевой суммой?