Задания международных математических олимпиад

Задания международной математической олимпиады:

Задача 1.

Пусть ABCDEF выпуклый шестиугольник площади 1, противоположные стороны которого параллельны друг другу.
Пары прямых из AB, CD и EF определяют вершины некоторого треугольника,
а пары прямых из BC, DE и FA определяют вершины другого треугольника.
Докажите, что по крайней мере площадь одного из этих двух треугольников не менее 3/2.

Задача 2.

Пусть ABCD вписанный четырехугольник,
который не является трапецией и диагонали которого пересекаются в точке E.
Точки F и G являются серединами сторон AB и CD соответственно,
а l — прямая проходящая через G, параллельная AB.
H и K основания перпендикуляров из E на прямые l и CD соответственно.
Докажите, что прямые EF и HK перпендикулярны.

Задача 3.

На окружности v с центром в точке O выбраны точки A, B и C так, что угол ABC > 90 гр..
Пусть D — точка пересечения прямой AB с перпендикуляром к прямой AC в точке C.
Обозначим через l прямую, проходящую через D и перпендикулярную к прямой AO.
Пусть E — точка пересечения l с прямой AC, а F — точка пересечения прямой l с окружностью v,
лежащая между D и E.
Докажите, что описанные окружности треугольников BFE и CFD касаются в точке F.

Задача 4.

Вневписанная окружность v_a треугольника ABC, соответствующая вершине A,
касается прямой AB в точке P и прямой AC в Q;
а вневписанная окружность v_b, соответствующая вершине B, касается прямой BA в точке M и прямой BC в N.
Пусть K — проекция точки C на прямую MN, а L — проекция точки C на прямую PQ.
Докажите, что четыре точки M,K,L,P лежат на одной окружности.

Задача 5.

Пусть n — натуральное число.
Правильный шестиугольник со стороной n разделен на правильные треугольники со сторонами 1
(при помощи прямых, параллельных сторонам шестиугольника).
Найдите количество правильных шестиугольников
все вершины которых являются вершинами этих правильных треугольников.

Задача 6.

Трапеция ABCD вписана в окружность v с диаметром AB.
Обозначим через E точку пересечения диагоналей AC и BD.
Окружность с центром B и радиусом BE пересекает v в точках K и L,
причем K лежит по одну сторону с точкой C относительно AB.
Прямая, перпендикулярная BD в точке E, пересекает CD в точке M.
Докажите, что прямая KM перпендикулярна DL.

Задача 7.

Плоскость разделена на части конечным числом прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке.
Две части называются "соседними", если пересечение их границ есть или отрезок, или полупрямая, или прямая
(точка не является отрезком).
Kаждой из частей делается попытка поставить в соответствие целое число таким образом,
что бы одновременно выполнялись следующие два условия:
а) произведение чисел, соответствующих двум соседним частям, меньше чем их сумма;
б) для каждой прямой, сумма чисел,
соответствующим всем частям, расположенным в одной и той же полуплоскости, равна нулю.
Докажите, что сделать данное соответствие возможно тогда и только тогда,
когда не все прямые параллельны между собой.