Олимпиады школьников 7 класс

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Примеры заданий по математике 7 класс:

Задача 1

Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a² + b² + c² = d².
Доказать, что число abc делится на 4.

Решение:

Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток 1.

Если числа a, b, c — нечетные, то d² должен давать при делении на 4 остаток 3, что невозможно.

Если среди чисел a, b, c два нечетных и одно четное, то d2 должен давать при делении на 4 остаток 2, что также невозможно.

Значит, среди чисел a, b, c есть два четных числа,
откуда произведение abc делится на 4.

Такое возможно,
например, 32 + 42 + 122 = 132.

Задача 2

Найдется ли такое натуральное число n, при котором 2n + n²
оканчивается цифрой 5?

Решение:

Число 2n может оканчиваться одной из цифр
2, 4, 8, 6 (с периодом 4),
а число n² — одной из цифр:
1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 (с периодом 10).
Отсюда число 2n + n²
будет оканчиваться на 5,
если 2n оканчивается на 4 или на 6,
то есть когда число n — четно,
но тогда 2n + n² — четно,
значит, не может оканчиваться на цифру 5.